L’étude des systèmes dynamiques constitue un domaine vaste et en plein développement, même si l’on ne considère que les activités dont les méthodes dérivent principalement de la théorie de la mesure et de l’analyse fonctionnelle. Karl Petersen a écrit un livre qui présente les fondamentaux de la théorie ergodique des transformations ponctuelles, puis plusieurs sujets avancés qui font actuellement l’objet d’intenses recherches. En sélectionnant un ou plusieurs de ces sujets sur lesquels se concentrer, le lecteur peut rapidement s’approcher de la littérature spécialisée et même de la frontière du domaine d’intérêt. Chacun des quatre aspects fondamentaux de la théorie ergodique - exemples, théorèmes de convergence, propriétés de récurrence et entropie - reçoit d’abord un traitement de base, puis un traitement particularisé plus avancé. Au niveau de l’introduction, le livre fournit des discussions claires et complètes des exemples standard : les théorèmes ergodiques moyens et ponctuels, la récurrence, l’ergodicité faible, le mélange faible, le mélange fort et les principes fondamentaux de l’entropie. Parmi les sujets avancés, citons un traitement approfondi des fonctions maximales et de leur utilité dans la théorie ergodique, l'analyse et les probabilités, une introduction aux fonctions quasi-périodiques et à la dynamique topologique, une démonstration du théorème de Jewett-Krieger, une introduction à la récurrence multiple, et le théorème de Szemeredi-Furstenberg et la preuve de Keane-Smorodinsky du théorème d'isomorphisme d'Ornstein pour les décalages de Bernoulli. Le style facile à lire de l'auteur, combiné à la profusion d'exercices et de références, de résumés, de remarques historiques et de discussions heuristiques, rend ce livre utile soit comme texte pour les étudiants des cycles supérieurs ou l'auto-apprentissage, soit comme ouvrage de référence pour les initiés. Langue : Anglais