Methods of Bifurcation Theory

1 Introduction et exemples. - 1. 1. Définition de la surface de bifurcation. - 1. 2. Exemples avec un paramètre. - 1. 3. La verge Euler-Bernoulli. - 1. 4. La bifurcation de Hopf. - 1. 5. Quelques exemples génériques. - 1. 6. Bifurcation dynamique. - 2 Éléments de l’analyse non linéaire. - 2. 1. Calcul. - 2. 2. Théorème de la fonction implicite locale. - 2. 3. Théorème de la fonction implicite globale. - 2. 4. Méthodes alternatives. - 2. 5. Intégration des théorèmes. - 2. 6. Théorème de préparation de Weierstrass. - 2. 7. Le théorème de préparation de Malgrange. - 2. 8. Polygone de Newton. - 2. 9. Multiples et transversalité. - 2. 10. Théorème de Sard. - 2. 11. Indice de degré topologique d’un champ vectoriel et indice de point fixe. - 2. 12. La théorie de Ljusternik-Schnirelman dans ?n. - 2. 13. Notes bibliographiques. - 3 Applications du théorème de la fonction implicite. - 3. 1. Existence de solutions d’équations différentielles ordinaires. - 3. 2. Classes admissibles dans les équations différentielles ordinaires. - 3. 3. Problèmes de valeurs limites globales pour les équations différentielles ordinaires. - 3. 4. Théorème de bifurcation de Hopf. - 3. 5. Théorème du centre de Liapopiov. - 3. 6. Propriété de Saddle Point. - 3. 7. Le théorème de Hartman-Grobman. - 3. 8. Un problème elliptique. - 3. 9. Un problème hyperbolique. - 3. 10. Notes bibliographiques. - 4 Méthode variationnelle. - 4. 1. Introduction. - 4. 2. Faible semi-continuité inférieure. - 4. 3. Opérateurs monotones. - 4. 4. Condition (C). - 4. 5. Principe Minimax dans les espaces de Banach. - 4. 6. Théorème du col de montagne. - 4. 7. Solutions périodiques d’une équation d’onde semi-linéaire. - 4. 8. Théorie de Ljusternik-Schnirelman sur les variétés de Banach. - 4. 9. Ondes stationnaires. - 4. 10. Les théorèmes de Krasnoselski. - 4. 11. Propriété variationnelle de l’équation de bifurcation. - 4. 12. Théorème du centre de Liapunov à la résonance. - 4. 13. Notes bibliographiques. - 5 L’approximation linéaire et la bifurcation. - 5. 1. Introduction. - 5. 2. Valeurs propres de B. - 5. 3. Valeurs propres de (B A). - 5. 4. Valeurs propres de (B A1. AN). - 5. 5. Bifurcation à partir d’une valeur propre simple. - 5. 6. Applications des valeurs propres simples. - 5. 7. Bifurcation basée sur l’équation linéaire. - 5. 8. Bifurcation mondiale. - 5. 9. Une demande. à une équation différentielle de retard. - 5. 10. Notes bibliographiques. - 6 Bifurcation avec un espace nul unidimensionnel. - 6. 1. Introduction. - 6. 2. Non-linéarités quadratiques. - 6. 3. Applications. - 6. 4. Non-linéarités cubiques. - 6. 5. Applications. - 6. 6. Bifurcation à partir de solutions connues. - 6. 7. Effets de la symétrie. - 6. 8. Dépliages universels. - 6. 9. Notes bibliographiques. - 7 Bifurcation avec des espaces vides de dimension supérieure. - 7. 1. Introduction. - 7. 2. Le quadratique revisité. - 7. 3. Non-linéarités quadratiques I. - 7. 4. Non-linéarités quadratiques II. - 7. 5. Non-linéarités cubiques I. - 7. 6. Non-linéarités cubiques II. - 7. 7. Non-linéarités cubiques III. - 7. 8. Notes bibliographiques. - 8 Quelques applications. - 8. 1. Introduction. - 8. 2. Les équations de von Kármán. - 8. 3. Le problème linéarisé. - 8. 4. Longueur non critique. - 8. 5. Longueur critique. - 8. 6. Un exemple de réactions chimiques. - 8. 7. L’équation de Duffing avec forçage harmonique. - 8. 8. Notes bibliographiques. - 9 Bifurcation près de l’équilibre. - 9. 1. Introduction. - 9. 2. Centrer les collecteurs. - 9. 3. Cas autonome. - 9. 4. Cas périodique. - 9. 5. Bifurcation à partir d’un foyer. - 9. 6. Notes bibliographiques. - 10 Bifurcation d’équations planes autonomes. - 10. 1. Introduction. - 10. 2. Orbite périodique. - 10. 3. Orbite homoclinique. - 10. 4. Courbe fermée avec un nœud de selle. - 10. 5. Remarques sur la stabilité structurelle et la bifurcation. - 10. 6. Remarques sur les systèmes dimensionnels infinis et la turbulence. - 10. 7. Notes bibliographiques. - 11 Bifurcation des équations planes périodiques. - 11. 1. Introduction. - 11. 2. Sous-harmoniques orbitales périodiques. - 11. 3. Orbite homoclinique. - 11. 4. Sous-harmoniques et points homocliniques. -11. 5. Bifurcation abstraite près d’une courbe fermée. - 11. 6. Notes bibliographiques. - 12 Formes normales et variétés invariantes. - 12. 1. Introduction. - 12. 2. Théorie de la transformation et formes normales. - 12. 3. En savoir plus sur les formes normales. - 12. 4. La méthode de calcul de la moyenne. - 12. 5. Variétés intégrales et tori invariants. - 12. 6. Bifurcation d’une orbite périodique à un tore. - 12. 7. Bifurcation de Tori. - 12. 8. Notes bibliographiques. - 13 Bifurcation d’ordre supérieur près de l’équilibre. - 13. 1. Introduction. - 13. 2. Deux racines zéro I. - 13. 3. Deux racines zéro II. - 13. 4. Deux racines zéro III. - 13. 5. Plusieurs valeurs propres imaginaires pures. - 13. 6. Notes bibliographiques. - 14 Perturbation des spectres des opérateurs linéaires. - 14. 1. Introduction. - 14. 2.