Random Matrices and Non-Commutative Probability

Ceci est un livre d’introduction sur les probabilités non commutatives ou les probabilités libres et les matrices aléatoires de grande dimension. Les concepts de base de la probabilité libre sont introduits par analogie avec la probabilité classique de manière lucide et rapide. Il développe ensuite les résultats sur la convergence de matrices aléatoires de grandes dimensions avec un accent particulier sur les connexions intéressantes aux probabilités libres. Le livre ne suppose presque aucune condition préalable pour la plupart. Cependant, une familiarité avec les concepts de convergence de base en probabilité et un peu de maturité mathématique seront utiles. Les propriétés combinatoires des partitions non croisées, y compris la fonction MÃbius, jouent un rôle central dans l’introduction de la probabilité libre. L’indépendance libre est définie par les cumulants libres par analogie avec la façon dont l’indépendance classique peut être définie par les cumulants classiques. Les cumulatifs libres sont introduits via la fonction MÃbius. Les espaces de probabilité des produits libres sont construits à l’aide de cumulants libres. La convergence raciale marginale et conjointe de matrices aléatoires de grande dimension, telles que la covariance d’échantillon elliptique de Wigner, la covariance croisée, le Toeplitz, le circulant et Hankel, est discutée. La convergence de la distribution spectrale empirique est discutée pour les matrices symétriques. Les résultats de gratuité asymptotique pour les matrices aléatoires, y compris certaines récentes, sont discutés en détail. Ceux-ci clarifient la structure des limites de convergence conjointe des matrices aléatoires. La liberté asymptotique des matrices de covariance d’échantillons indépendants est également démontrée par l’intégration dans des matrices de Wigner. Des exercices de premier cycle et des cycles supérieurs avancés sont fournis dans chaque chapitre. . Langue : Anglais