0 Notions de base. - 0. 1 Nombres naturels et entiers. - 0. 2 cartes. - 0. 3 algorithmes mathématiques. -Notes. - 1 Anneaux commutatifs avec unité. - 1. 1 Pourquoi l’algèbre abstraite ?. - 1. 2 groupes. - 1. 3 anneaux. - 1. 4 Subrings et homomorphismes. - 1. 5 Anneaux idéaux et classe de résidus. - 1. 6 Le théorème de l’homomorphisme. - 1. 7 Lcm de Gcd et domaines idéaux principaux. - 1. 8 Idéaux maximaux et premiers. - 1. 9 anneaux principaux et caractéristique. - 1. 10 Produits d’adjonction et anneaux de quotient. -Notes. - 2 anneaux polynomiaux. - 2. 1 Définitions. - 2. 2 Domaines euclidiens. - 2. 3 domaines de factorisation uniques. - 2. 4 Le lemme gaussien. - 2. 5 Gcd polynomiaux. - 2. 6 Décomposition carrée des polynômes. - 2. 7 Factorisation des polynômes. - 2. 8 Le théorème du reste chinois. -Notes. - 3 espaces vectoriels et modules. - 3. 1 espaces vectoriels. - 3. 2 ensembles et dimension indépendants. - 3. 3 modules. -Notes. - 4 Ordres et relations de réduction abstraites. - 4. 1 L’axiome du choix et quelques conséquences en algèbre. - 4. 2 Les relations. - 4. 3 Propriétés de fondement. - 4. 4 Quelques commandes spéciales. - 4. 5 Relations de réduction. - 4. 6 Calcul dans les structures algébriques. -Notes. - 5 bases Gröbner. - 5. 1 Ordres de termes et réductions polynomiales. - 5. 2 Bases GröbnerExistence et unicité. - 5. 3 Bases GröbnerConstruction. - 5. 4 Représentations standard. - 5. 5 algorithmes de base de Gröbner améliorés. - 5. 6 L’algorithme de base de Gröbner étendu. -Notes. - 6 Premières applications des bases Gröbner. - 6. 1 Calcul des Syzygies. - 6. 2 algorithmes de base en théorie idéale. - 6. 3 dimension des idéaux. - 6. 4 Problèmes de mots uniformes. -Notes. - 7 Extensions de champs et le Hilbert Nullstellensatz. - 7. 1 Extensions de terrain. - 7. 2 La fermeture algébrique d’un corps. - 7. 3 polynômes séparables et corps parfaits. - 7. 4 Le Hilbert Nullstellensatz. - 7. 5 Hauteur et profondeur des idéaux premiers. - 7. 6 Implicitisation des Paramétrisations rationnelles. - 7. 7 Inversibilité des applications polynomiales. -Notes. - 8 Décomposition radicale et zéros des idéaux. - 8. 1 Préliminaires. - 8. 2 Le radical d’un idéal de dimension zéro. - 8. 3 Le nombre de zéros d’un idéal. - 8. 4 Idéaux primaires. - 8. 5 Décomposition primaire dans les anneaux noetheriens. - 8. 6 Décomposition primaire des idéaux de dimension zéro. - 8. 7 Radical et décomposition dans les dimensions supérieures. - 8. 8 Calcul des zéros réels des systèmes polynomiaux. -Notes. - 9 Algèbre linéaire dans les anneaux de classe de résidus. - 9. 1 Bases Gröbner et durées réduites. - 9. 2 Calcul dans les algèbres générées de manière finie. - 9. 3 dimensions et la fonction Hilbert. -Notes. - 10 variations sur les socles Gröbner. - 10. 1 Bases de Gröbner sur les domaines PID et euclidiens. - 10. 2 socles Gröbner homogènes. - 10. 3 Homogénéisation. - 10. 4 bases Gröbner pour modules polynomiaux. - 10. 5 Systèmes d’équations linéaires. - 10. 6 bases standard et le cône tangent. - 10. 7 fonctions symétriques. -Notes. - Annexe : Perspectives sur les sujets avancés et connexes. - Complexité des constructions de base Gröbner. - Ordres à terme et bases universelles de Gröbner. - Bases Gröbner complètes. - Bases de Gröbner et démonstration automatique de théorèmes. - Ensembles caractéristiques et réduction Wu-Ritt. - Réécriture des termes. - Bases standard dans les anneaux de la série Power. - Bases Gröbner non commutatives. - Bases de Gröbner et algèbre différentielle. - Bibliographie sélective. - Actes de conférence. - Livres et monographies. - Des articles. - Liste des symboles. Langue : Anglais