Weakly Differentiable Functions

1. Préliminaires. - 1.1 Notations. - 1.2 Mesures sur ℝⁿ. - 1.3 Théorèmes de recouvrement. - 1.4 Mesure de Hausdorff. - 1.5 Espaces Lp. - 1.6 Régularisation. - 1.7 Distributions. - 1.8 Espaces de Lorentz. - Exercices. - Notes historiques. - 2. Espaces de Sobolev et leurs propriétés fondamentales. - 2.1 Dérivées faibles. - 2.2 Changement de variables pour les fonctions de Sobolev. - 2.3 Approximation des fonctions de Sobolev par des fonctions lisses. - 2.4 Inégalités de Sobolev. - 2.5 Théorème de compacité de Rellich-Kondrachov. - 2.6 Potentiels de Bessel et capacité. - 2.7 La meilleure constante dans l'inégalité de Sobolev. - 2.8 Preuves alternatives des inégalités fondamentales. - 2.9 Cas limites de l'inégalité de Sobolev. - 2.10 Espaces de Lorentz : une légère amélioration. - Exercices. - Notes historiques. - 3 Comportement ponctuel des fonctions de Sobolev. - 3.1 Limites des moyennes intégrales des fonctions de Sobolev. - 3.2 Densités des mesures. - 3.3 Points de Lebesgue des fonctions de Sobolev. - 3.4 Dérivées LP des fonctions de Sobolev. - 3.5 Propriétés des dérivées LP. - 3.6 Une version LP du théorème d'extension de Whitney. - 3.7 Une observation sur la différentiation. - 3.8 Théorème de Rademacher dans le contexte LP. - 3.9 Implications de la différentiabilité ponctuelle. - 3.10 Une approximation de type Lusin pour les fonctions de Sobolev. - 3.11 L'approximation principale. - Exercices. - Notes historiques. - 4 Inégalités de Poincaré : une approche unifiée. - 4.1 Inégalités dans un cadre général. - 4.2 Applications aux espaces de Sobolev. - 4.3 Le dual de WMp(?). - 4.4 Quelques mesures dans (W0Mp(?))*. - 4.5 Inégalités de Poincaré. - 4.6 Une autre version de l'inégalité de Poincaré. - 4.7 Autres mesures dans (WMp(?))*. - 4.8 Autres inégalités impliquant des mesures dans (WMp)*. - 4.9 Le cas p = 1. - Exercices. - Notes historiques. - 5 Fonctions à variation bornée. - 5.1 Définitions. - 5.2 Propriétés élémentaires des fonctions BV. - 5.3 Régularisation des fonctions BV. - 5.4 Ensembles de périmètre fini. - 5.5 La normale extérieure généralisée. - 5.6 Propriétés tangentielles de la frontière réduite et de la normale de la théorie de la mesure. - 5.7 Rectifiabilité de la frontière réduite. - 5.8 Le théorème de Gauss-Green. - 5.9 Comportement ponctuel des fonctions BV. - 5.10 La trace d'une fonction BV. - 5.11 Inégalités de type Sobolev pour les fonctions BV. - 5.12 Inégalités impliquant la capacité. - 5.13 Généralisations au cas p > 1. - 5.14 Définition de la trace en termes de moyennes intégrales. - Exercices. - Notes historiques. - Liste des symboles. Langue : anglais