1 Géométrie dans les régions d’un espace. Concepts de base. - 1. Systèmes de coordonnées. - 2. Espace euclidien. - 3. Espaces riemanniens et pseudo-riemanniens. - 4. Les groupes de transformations les plus simples de l’espace euclidien. - 5. Les formules de SerretFrenet. - 6. Espaces pseudo-euclidiens. - 2 La théorie des surfaces. - 7. Géométrie sur une surface dans l’espace. - 8. La deuxième forme fondamentale. - 9. La métrique sur la sphère. - 10. Surfaces semblables à l’espace dans l’espace pseudo-euclidien. - 11. Le langage des nombres complexes en géométrie. - 12. Fonctions analytiques. - 13. Forme conforme de la métrique sur une surface. - 14. Les groupes de transformation sont des surfaces dans l’espace à N dimensions. - 15. Transformations conformes d’espaces euclidiens et pseudo-euclidiens de plusieurs dimensions. - 3 tenseurs : la théorie algébrique. - 16. Exemples de tenseurs. - 17. La définition générale d’un tenseur. - 18. Tenseurs de type (0 k). - 19. Les tenseurs dans les espaces riemanniens et pseudo-riemanniens. - 20. Les groupes cristallographiques et les sous-groupes finis du groupe de rotation de l’espace 3 euclidien. Exemples de tenseurs invariants. - 21. Tenseurs de rang 2 dans l’espace pseudo-euclidien et leurs valeurs propres. - 22. Le comportement des tenseurs sous mappages. - 23. Champs vectoriels. - 24. Algèbres de Lie. - 4 Le calcul différentiel des tenseurs. - 25. Le calcul différentiel des tenseurs symétriques. - 26. Les tenseurs asymétriques et la théorie de l’intégration. - 27. Formes différentielles sur des espaces complexes. - 28. Différenciation covariante. - 29. La différenciation covariante et la métrique. - 30. Le tenseur de courbure. - 5 Les éléments du calcul des variations. - 31. Problèmes variationnels unidimensionnels. - 32. Lois de conservation. - 33. Formalisme hamiltonien. - 34. La théorie géométrique de l’espace des phases. - 35. Surfaces de Lagrange. - 36. La deuxième variante de l’équation des géodésiques. - 6 Le calcul des variations en plusieurs dimensions. Champs et leurs invariants géométriques. - 37. Les problèmes variationnels dimensionnels supérieurs les plus simples. - 38. Exemples de Lagrangiens. - 39. Les concepts les plus simples de la théorie de la relativité générale. - 40. Les représentations spinorielles des groupes SO(3) et O(3 1). L'équation de Dirac et ses propriétés. - 41. Différenciation covariante des champs avec symétrie arbitraire. - 42. Exemples de fonctionnelles invariantes de jauge. les équations de Maxwell et l'équation de YangMills. Fonctionnelles avec une dérivée variationnelle identique nulle (classes caractéristiques). Langue : Anglais